组合数学

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排列与组合

抽屉原理（鸽巢原理）

把n+1个苹果放入n个抽屉里，则至少有一个抽屉放了两个或两个以上的苹果；

从另一个角度来说，把n-1个苹果放入n个抽屉，则至少有一个抽屉是空的。

如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素。

假如有n+1个元素放入n个集合，其中必定有一个集合里至少有两个元素；

把n-1个元素放入n个集合，则至少有一个集合是空的。

通常来说，在问题中，较多的一方就是苹果，较少的一方就是抽屉。

最差原则

即考虑所有可能的情况中，最不利于某件事情 发生的情况。

容斥原理

基本计数原理

分类加法计数原理

做一件事，完成它有 \(n\) 类方法，第一类有 \(m_{1}\) 种，第二类有 \(m_{2}\) 种，……，第 \(n\) 类有 \(m_{n}\) 种，那么完成这件事共有 $ s=m_{1}+m_{2}+…+m_{n}$ 种方法。

特点

分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任一方法都可以完成这件事。

特点是分类独立完成，分类计数。

分步乘法计数原理

做一件事，完成它需要 \(n\) 个先后步骤，做第一步有 \(m_{1}\) 种不同的方法，做第二步有 \(m_{2}\) 种不同的方法，……，做第n步有 \(m_{n}\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(s=m_{1}×m_{2}×…m_{n}\) 种不同的方法。

特点

分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

特点是分步依次完成，分步计数。

区别

加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。

排列与组合

定义

阶乘

\(n!=1×2×…×n\)

\(\left( 0!=1 \right)\)

排列

从n个不同元素中任取m(m<=n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

对于第一个位置，我们有n种选择；第二个位置，有(n-1)种选择；……；第m个位置，有(n-m+1)种选择；所以，

方案数 \(=n(n- 1)…(n-m+1)\)，即

当 \(m=n\) 时，有 \(A^{n}_{n}=n!\) ，称为 \(n\) 的全排列（n个不同元素全部取出的排列）；

而 \(0 的情况，则称为选排列。

组合

从n个不同元素中，任意取出m(m<=n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任意取出m个元素的一个组合。

我们考虑从n个物品中选出m个物品的排列，由于在组合中不考虑顺序性，所以每一种组合在排列中重复出现了 \(m!\) 次，所以只需要将排列数除以m!，即

区别

取出的元素与顺序有关的为排列问题，与顺序无关的为组合问题。

公式

该公式是二项式定理，可以证明第三个公式。

Lucas定理

用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。

n%p和m%p一定是小于p的数，可直接求解；

\(C^{m/p}_{n/p}\)可继续用lucas定理求解。这也要求p的范围不能太大，<=\(10^{5}\)左右。

边界条件：当m=0时返回1，即， \(lucas(x,0,p)=1\)

杨辉三角

(a+b)n展开式的二项式系数：

性质

性质1

每行两端都是1，每个数都等于它“肩上”的两个数的和。

性质2

每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等。

性质3

如果二项式的幂指数\(n\)是偶数，则展开中间项\(T_{n/2+1}\)的二项式系数最大；如果\(n\)是奇数，展开的中间两项\(T_{(n+1)/2}\)和\(T_{(n+1)/2+1}\)的系数最大。

性质4

二项式每行的系数和等于2n。

组合数求解

用组合数递推公式求解。

复杂度\(O(n^{2})\)

初始条件：

组合数学相关

错排、圆排列

基础数论

取整

x是一个实数，floor(x)为对x向下取整，ceil(x)为对x向上取整。

在c++中，整型变量的除法都是整除的。我们一般考虑除 数为正的情况。若被除数为正，则向下取整；为负则向上取整。

总结，向绝对值小的方向取整。

下取整符号 $\left \lfloor \right \rfloor $

上取整符号 $\left \lceil \right \rceil $

取模

a对b取模得到的结果就是a除以b的余数，记作a mod b。

\(x≡y(\) % \(p)\) 表示x与y对p取模的结果相等，称为同余。

性质

假设x≡y(%p)

x+a≡y+a(%p)

x-a≡y-a(%p)

ax≡ay(%p)

(a+b)%p=(a%p+b%p)%p

(a-b)%p=(a%p–b%p)%p

(a-b)%p=(a-b+p)%p

ab%p=(a%p)(b%p)%p

最大公约数（gcd）/最小公倍数（lcm）

如果a%x=0，我们称x是a的约数(或因数)，称a是x的倍数。

a与b的最大公约数，是指一个最大的整数x，使得x同时是a和b的约数。

我们将a与b的最大公约数记作gcd(a,b)。

性质

lcm(a,b)=ab/gcd(a,b)

gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)

lcm(a,b,c)=lcm(lcm(a,b),c)

欧几里得算法（辗转相除法）

时间复杂度为log级。

算法公式

证明

质数（素数）

一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，这样的数称为质数，否则称为合数。

逆元

对于正整数a，b，如果能找到正整数x使得 \(ax≡1(\) % \(b)\) ，我们称x是a在模b意义下的逆元。

在这里，实际上a与x互为模b意义下的逆元。

由同余方程可知，a在模b意义下存在逆元，当且仅当gcd(a,b)=1，即a与b互质。

在取模的意义下是不能直接作除法的，但利用逆元则可以。

在模意义下，除以一个数，相当于乘上这个数的逆元；或者说乘以一个数，等于除以这个数的逆元。

概率和数学期望

概率

某个事件A发生的可能性的大小，称之为事件A的概率，记作P(A)。

假设某事的所有可能结果有n种，事件A涵盖其中的m 种，那么P(A)=m/n。

如果两个事件A和B所涵盖的结果没有交集（互不相容），那么P(A或B发生)=P(A)+P(B)。

如果A和B所涵盖的结果有交集，那么P(A或B发生)=P(A)+P(B)-P(A与B同时发生)。

记事件B为“事件A不发生”（事件A的对立事件，事件B发生则事件A不会发生）那么P(A)+P(B)=1，即P(B)=1-P(A)。

在两个互不干扰的事中，事件A在其中一件事中，事件B在另外一件事中（独立事件，事件A发生跟B的发生没有关系），那么P(A与B同时发生)=P(A)×P(B)。

数学期望

事件A有多种结果，记其结果为x，那么x的期望值表示事 件A的结果的平均大小，记作E(x)。

E(x)=每种结果与其概率的乘积的和

记两个事件的结果分别为x、y，那么，E(x+y)=E(x)+E(y)

若两个事件互相独立，那么，E(xy)=E(x)·E(y)

若c为常数，那么，E(x+c)=E(x)+c，E(cx)=c·E(x)

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